相关系数协方差矩阵,相关系数 协方差 方差

文章目录：

• 相关系数协方差矩阵
• 相关系数 协方差 方差
• 相关系数 协方差 知乎相关系数 协方差 计算
• 相关系数 协方差区别
• 相关系数协方差

相关系数协方差矩阵

相关系数矩阵：相当于消除量纲的表示变量间相关性的一个矩阵

协方差矩阵：它是没有消除量纲的表示变量间相关性的矩阵。

你对比下它们的等式变换关系：

r=COV(x,y)/D(x)D(y)

看看我的博客http://blog.7our.com/yugao1986/article/details/6878578

相关系数 协方差 方差

理解两个变量之间的关系是数据科学任务中常见的问题。我们主要用相关性来理解两个变量之间的关系。但我们也经常听说散布矩阵(也是散点图)和协方差。让我们来看看它们是什么，它们是如何计算的，以及它们各自的意义。我们还将实现它们中的每一个，并在另一个之上进行构建。

用seaborn产生的散布矩阵

所有答案的问题是数据中的变量之间的关系是什么?

散布矩阵（Scatter Matrix ）:散布矩阵是协方差矩阵的估计，当协方差无法计算或计算成本很高时。散布矩阵也用于许多降维练习。如果有k个变量，散布矩阵将有k行k列即kxk矩阵。

如何计算散布矩阵

在python中散布矩阵的代码：

#Create a 3 X 20 matrix with random values.

mu_vec1 = np.array([0,0,0])

cov_mat1 = np.array([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])

samples = np.random.multivariate_normal(mu_vec1, cov_mat1,20).T

#Compute the mean vector

mean_x = np.mean(samples[0,:])

mean_y = np.mean(samples[1,:])

mean_z = np.mean(samples[2,:])

mean_vector = np.array([[mean_x],[mean_y],[mean_z]])

#Computation of scatter plot

scatter_matrix = np.zeros((3,3))

for i in range(all_samples.shape[1]):

scatter_matrix += (all_samples[:,i].reshape(3,1) - mean_vector).dot((all_samples[:,i].reshape(3,1) - mean_vector).T)

print('Scatter Matrix:\n', scatter_matrix)

散布矩阵包含变量的每个组合，它们之间的关系。让我们观察以下矩阵的散布矩阵，Python代码如下：

arange = np.arange(0, 40)

samples = np.array([arange * 3 , arange * -1])

scatter_matrix = np.zeros((2,2))

for i in range(samples.shape[1]):

scatter_matrix += (samples[:,i].reshape(2,1) - mean_vector).dot((samples[:,i].reshape(2,1) - mean_vector).T)

print('Scatter Matrix:', scatter_matrix)

Output :

'Scatter Matrix:', array([[ 47970., -15990.],

[-15990., 5330.]])

如果我们通过将-1更改为1来调整矩阵生成：

arange = np.arange(0, 40)

samples = np.array([arange * 3 , arange * 1])

输出也会改变符号：

Output :

('Scatter Matrix:', array([[ 47970., -15990.],

[-15990., 5330.]]))

我们可以观察到，两个变量对的散布矩阵的符号表示一个变量随另一个变量的增加/减少而增加。

协方差矩阵:协方差被定义为两个随机变量联合变化的度量。在计算散布矩阵的前提下，协方差矩阵的计算是直接进行的。我们只需要按n-1缩放散布矩阵的值来计算协方差矩阵。

这个我们可以验证一下，看看Python代码：

print('Covariance Matrix:'np.cov(samples))

print('Scatter Matrix:', scatter_matrix)

print('Unscaled covariance matrix which is same as Scatter Matrix:'np.cov(samples) * 39)

Output :

'Covariance Matrix:', array([[1230. , 410. ],

[ 410. , 136.66666667]])

'Scatter Matrix:', array([[47970., 15990.],

[15990., 5330.]])

'Unscaled covariance matrix which is same as Scatter Matrix:', array([[47970., 15990.],

[15990., 5330.]])

无论是散布矩阵还是协方差矩阵，都很难解释这些值的大小，因为这些值受变量大小的影响。要真正理解变量之间关系的强度，我们必须看一下相关性。

相关矩阵：相关矩阵为我们提供了有关两个变量如何相互作用的信息，包括方向和幅度。常用的协方差基于Pearson相关系数 。我们计算相关矩阵的方法是将两个变量的协方差值除以两个变量的标准差的乘积。

Python实现如下：

print('Covariance Matrix:',np.cov(samples))

std_dev_of_x1 = np.std(arange * 3)

std_dev_of_x2 = np.std(arange * -1)

std_dev_products = np.array(

[[std_dev_of_x1 * std_dev_of_x1, std_dev_of_x1 * std_dev_of_x2],

[std_dev_of_x1 * std_dev_of_x2, std_dev_of_x2 * std_dev_of_x2]]

)

print('Covariance Matrix:', np.corrcoef(samples))

print('Std deviation products :', std_dev_products)

print('Covariance Matrix computed from covariance :', np.divide(np.cov(samples), std_dev_products))

('Covariance Matrix:', array([[1., 1.],

[1., 1.]]))

('Std deviation products :', array([[1199.25, 399.75],

[ 399.75, 133.25]]))

('Covariance Matrix computed from covariance :', array([[1.02564103, 1.02564103],

[1.02564103, 1.02564103]]))

来自numpy的相关矩阵非常接近我们从协方差矩阵计算得到的。

相关系数 协方差 知乎相关系数 协方差 计算

cov(x,y)=EXY－EX*EY

协方差的定义，EX为随机变量X的数学期望，同理，EXY是XY的数学期望，挺麻烦的，建议你看一下概率论cov(x,y)=EXY－EX*EY

协方差的定义，EX为随机变量X的数学期望，同理，EXY是XY的数学期望，挺麻烦的，建议你看一下概率论

举例：

Xi 1.1 1.9 3

Yi 5.0 10.4 14.6

E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2

E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10

E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

此外：还可以计算：D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(1.1^2+1.9^2+3^2)/3 - 4=4.60-4=0.6 σx=0.77

D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=(5^2+10.4^2+14.6^2)/3-100=15.44 σy=3.93

X,Y的相关系数：

r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979

表明这组数据X,Y之间相关性很好!

扩展资料：

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。

如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

协方差与方差之间有如下关系：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)

协方差与期望值有如下关系：

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；

（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：

定义

称为随机变量X和Y的(Pearson)相关系数。

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式：

 为总体方差，

 为变量， 

 为总体均值， 

 为总体例数。

实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式：S^2= ∑（X- 

 ） ^2 / （n-1）

S^2为样本方差，X为变量， 

 为样本均值，n为样本例数。

参考资料：搜狗百科-协方差

相关系数 协方差区别

化学合成实验中经常需要考察压力随温度的变化情况。某次实验在两个不同的反应器中进行同一条件下实验得到两组温度与压力相关数据，试分析它们与温度的关联关系，并对在不同反应器内进行同一条件下反应的可靠性给出依据。

相关系数是描述两个测量值变量之间的离散程度的指标。用于判断两个测量值变量的变化是否相关，即，一个变量的较大值是否与另一个变量的较大值相关联(正相关)；或者一个变量的较小值是否与另一个变量的较大值相关联(负相关)；还是两个变量中的值互不关联(相关系数近似于零)。设(X,Y)为二元随机变量，那么:为随机变量X与Y的相关系数。p是度量随机变量X与Y之间线性相关密切程度的数字特征。

注:本功能需要使用Excel扩展功能，如果您的Excel尚未安装数据分析，请依次选择“工具”-“加载宏”，在安装光盘中加载“分析数据库”。加载成功后，可以在“工具”下拉菜单中看到“数据分析”选项。

1.打开原始数据表格，制作本实例的原始数据需要满足两组或两组以上的数据，结果将给出其中任意两项的相关系数。

2.选择“工具”-“数据分析”-“描述统计”后，出现属性设置框，依次选择: 输入区域:选择数据区域，注意需要满足至少两组数据。

如果有数据标志，注意同时勾选下方“标志位于第一行”，分组方式:指示输入区域中的数据是按行还是按列考虑，请根据原数据格式选择：输出区域可以选择本表、新工作表组或是新工作簿。

3.点击“确定”即可看到生成的报表。可以看到，在相应区域生成了一个3×3的矩阵，数据项目的交叉处就是其相关系数。显然，数据与本身是完全相关的，相关系数在对角线上显示为1；两组数据间在矩阵上有两个位置，它们是相同的，故右上侧重复部分不显示数据。左下侧相应位置分别是温度与压力A、B和两组压力数据间的相关系数。

从数据统计结论可以看出，温度与压力A、B的相关性分别达到了0.95和0.94，这说明它们呈现良好的正相关性，而两组压力数据间的相关性达到了0.998，这说明在不同反应器内的相同条件下反应一致性很好，可以忽略因为更换反应器造成的系统误差。

协方差的统计与相关系数的活的方法相似，统计结果同样返回一个输出表和一个矩阵，分别表示每对测量值变量之间的相关系数和协方差。不同之处在于相关系数的取值在 -1 和 +1 之间，而协方差没有限定的取值范围。相关系数和协方差都是描述两个变量离散程度的指标。

相关系数协方差

#考研# 考研数学必考点[可爱][可爱][可爱] 数学期望、方差、常见分布的数字特征、协方差计算公式、相关系数、随机变量的矩[微风][微风][微风][微风][微风][微风][微风][微风]